On lira d’une manière générale dans ces écritures (pour me faciliter la frappe) :
V « pour tout »,
E « il existe »,
L « non »,
LV « ce n’est pas tout »,
LE « il n’existe pas »,
F(x) « le prédicat F s’applique à x » .

Prédicats possibles
 Rappel de la présentation « aristotélicienne » :

VxF(x)	Contraires	VxLF(x)
Subalternes	Contradictoires	Subalternes
ExF(x)	Subcontraires	ExLF(x)

 

A  VxF(x)	VxF(x) Contraires  VxLF(x) v v f f f v v v v f v f	E  VxLF(x)
VxF(x) Subalterne   ExF(x) v v f f v f v v v f v f	En diagonale: Les contradictoires qui prennent toujours des valeurs de vérité opposées comporteraient le f  en haut et en bas.	VxLF(x) Subalterne  ExLF(x) v v f f v f v v v f v f
I  ExF(x)	ExF(x)  Subcont ExLF(x) v v f f v v v f v f v f	O  ExLF(x)

 Si on alterne les positions selon ma méthode paranoïaque critique, en plaçant en opposition diamétrale les mêmes quantificateurs et non plus sur la même ligne, on obtient une forme de symétrie différente avec cette fois-ci, non plus un double pliage en diagonale comme chez Aristote, ce qui forçait l'admiration logique sans aboutir à expliciter les phénomènes subjectifs, mais une sorte d'axe de symétrie vertical qui pourrait illustrer la flèche du temps et l'orientation d'une subjectivité, du fait de la bipartition de l'espace d'écriture logique en deux volets qui peuvent exprimer non pas le passage "avant-après" où l'on ne pourrait pas préjuger des pôles à affecter à chaque valeur,  mais au contraire "présence-éternité" la présence se situant du côté de la négation, et l'éternité du côté de l'affirmation, ce qui tombe d'accord avec la vision des espaces logiques engagée par la réflexion conduite ici sur les psychopathologies :

O  ExLF(x)	ExLF(x)  Contradict VxF(x) v v f f f v v f v f v f	A  VxF(x)
ExLF(x)  <Subalterne  VxLF(x) v v f f v v f v v f v f	En diagonale: Les contraires ne peuvent être vrais ensembles. f en haut. Les subcontraires ne peuvent être faux ensembles. f en bas. Les diagonales perdent leur symétrie.	VxF(x)  Subalterne > ExF(x) v v f f v f v v v f v f
E  VxLF(x)	VxLF(x)   Contradict ExF(x) v v f f f v v f v f v f	I  ExF(x)

Ces deux vision d'un schéma de la logique des prédicats sont aussi autorisées l'une que l'autre "transcendantalement
et aboutissent à des visions du monde différentes et peut-être complémentaires.
Celle d'Aristote-Apulée permet de chosifier dans un temps logique ponctuel des conditions immédiatement pertinentes.
Celle que je formule en "opposition"
(et on m'excusera du peu, mais au fond, c'est la vision logique qu'ont exploité toutes les logiques subjectives des XIXième et XXième siecles
avec  Blanché, Prior, Piaget, Geimas, et même Lacan puisque c'est son écriture du "rapport sexuel" que j'interroge ici)
est certainement plus propre à rendre compte de ce qu'on peut concevoir comme "logique subjective",
qui donc intègre bien plus évidement que la première, la consistance ou la réalité du temps.

 Une question entre autres posée par ce montage est celle de l’équivalence logique entre :
VxF(x) et L[ExLF(x)]
Ainsi que
VxLF(x) et L[ExF(x)]
Ainsi que
ExLF(x) et L[VxF(x)]
Ainsi que
ExF(x)] et L[VxLF(x)]

Ce montage admet sur l’ensemble des prédicats la double négation LL comme valant affirmation :
VxF(x)  équivalant à  LL[VxF(x)]
VxLF(x) équivalant à  LL[VxLF(x)]
ExF(x)]  équivalant à LL[ExF(x)]
ExLF(x)  équivalant à  LL[ExLF(x)]

 Cela s’entend bien-sûr comme une évidence première dans un type de discours du style :
« Tout homme est libre si et seulement si il n’existe pas au moins un seul homme non libre. »
Ainsi que
« Tout homme est non libre si et seulement si il n’existe pas au moins un seul homme libre. »
 
Il va de soi que cette logique ne changerait pas du tout de sens
si on remplaçait la clause « au moins un seul » par « un et un seul ». 

Par contre la négation se pose différemment si on la fait porter non plus sur le prédicat en tant que tel
« il existe un homme non libre »
mais sur la proposition constituée par le prédicat en tant que telle
« il n’existe pas un homme libre » :
le sens en est différent.
Autrement dit
ExLF(x) n’est pas équivalent à LExF(x) 

De même « Tout homme est non libre » n’est pas du tout équivalent à
« Ce n’est pas tout homme qui est libre ».
Autrement dit
VxLF(x) n’est pas équivalent à LVxF(x) 

Si par contre on applique sur les deux versants de ces formules «grammaticales»,
la double négation,
on n’arrive à des formules qui redeviennent équivalentes :
« Il n’existe pas un homme non libre » a le sens de
« Il n’est pas vrai ou possible ou concevable ou pensable qu’il n’existe pas un homme libre ».
Autrement dit
LExLF(x) est équivalent à LLExF(x) mais pas à ExLLF(x)
(« Il existe un homme non privé de liberté »)
qui vaut par contre ExF(x)
(« Il existe un homme libre »)

 Par ailleurs « grammaticalement » on entend bien que
« Ce n’est pas tout homme qui est non libre »
a le sens de
« Tout homme n’est pas privé de liberté ».
Autrement dit
LVxLF(x) est équivalent à VxLLF(x) mais pas à LLVxF(x)
(« Il n’est pas possible… que ce ne soit pas tout homme qui est libre »)
qui vaut par contre VxF(x)
(« Tout homme est libre ») 

Tous ces raisonnements sont mis en œuvre ici par « induction » …..

(On remarquera que plutôt que la « blanchitude » qui m’a semblé renvoyer à des catégories de l’esprit qui ne sont pas les plus généreuses, j’ai choisi la liberté, sujet qui ne fascinait ni Aristote ni Platon, pour explorer ces empêchements de l’esprit qui font parfois même esprit d’empêchement, et qui ont tout intérêt à être abordés sous l’angle d’une pensée critique, plutôt que d’une dogmatique de la possibilité d’un discours universel.) 

Voilà qui porte à penser que la double négation ne s’applique pas de la même façon selon l'usage qui est fait du quantificateur ?
Cette hypothèse obtenue par induction peut aussi illustrer sinon expliquer le théorème de Tarski portant sur la possibilité d’utilisation des deux quantificateurs appliqués dans une formule à deux variables.
Voilà en tout cas qui pose la question de la rigueur et de la validité universelle de la grande logique aristotélicienne. 

C’est peut-être cette indétermination première qui avait donné à Lacan l’idée de faire porter la négation sur le quantificateur lui-même dans ce qu’il appelé son « schéma de la sexuation ».
C’est en tout cas à partir de ces difficultés que les penseurs mathématiciens du XIXème siècle et du vingtième ont proposé leurs « logique modale » et leur « logique intuitionniste ». 

J’ai donc pour ma part repris mais dans un tout autre dispositif « psycho- logique » de ce montage, les sens respectifs de la négation dans le prédicat et de la négation du prédicat entier en tant que proposition.
On voit donc qu’il y a deux types de négations non réductibles l’une à l’autre qui vont nous confronter à deux types de logiques :
La logique des prédicats qui accepte la double négation et où non-non-p est équivalent à p, si la négation est interne au prédicat. Et la logique des propositions où non-non-p est incomparable à p si p est une proposition impliquée dans un discours, fut-il « logique », « rationnel », portant sur des champs d’objets ouverts ou fermés.

 Deux exemples :
Triple négation :
« Je ne suis pas venu pour abolir l’ancienne loi. »
Triple affirmation :
« Je suis celui qui est. »